1. 概念

2. 二叉查找树

又名排序二叉树,对于每个结点, 如果有,其左孩子不大于它,右孩子不小于它

通过前序遍历或者后序遍历就可以得到有序序列(升序,降序)

常用三种操作, 插入,删除,查找,时间复杂度是 h是树高, 但是由于插入,删除而导致树不平衡, 即可能

2.1. 随机构造的二叉查找树

下面可以证明,随机构造,即输入序列有 中, 每种概率相同的情况下, 期望的树高

(直接搬运算法导论上面的啦>_<)

2.2. 平均结点深度

一个较 上面定理 弱的结论:

一棵随机构造的二叉查找树,n 个结点的平均深度为

类似 RANDOMIZED-QUICKSORT 的证明过程, 因为快排 递归的过程就是一个递归 二叉树. 随机选择枢纽元就相当于这里的某个子树的根结点 在所有结点的大小随机排名, 如 i. 然后根结点将剩下的结点划分为左子树(i-1)个结点, 右子树(n-i)个结点.

2.3. 不同的二叉树数目(Catalan num)

给定,组成二叉查找树的数目. 由上面的证明过程, 可以容易地分析得出, 任选第 i 个数作为根, 由于二叉查找树的性质, 其左子树 应该有 i-1个结点, 右子树有 n-i个结点. 如果记 n 个结点 的二叉查找树的数目为 则有递推公式 然后我们来看<<算法导论>>(p162,思考题12-4)上怎么求的吧( •̀ ω •́ )y 设生成函数 下面证明 易得 对比的 x 的各次系数,分别是 当 k=0, 当 k>0 所以 由此解得 在点 x=0 处, 用泰勒公式得 所以对应系数 这个数叫做 Catalan 数

2.4. 好括号列

王树禾的<<图论>>(p42)上用另外的方法给出Catalan数, 并求出n结点 二叉查找数的个数

首先定义好括号列,有:

充要条件: 好括号列 左右括号数相等, 且从左向右看, 看到的右括号数不超过左括号数

定理: 由 n个左括号,n个右括号组成的好括号列个数为

证明: 由 n左n右组成的括号列有 个. 设括号列为坏括号列, 由充要条件, 存在最小的 j, 使得中右括号比左括号多一个, 由于是最小的 j, 所以 为右括号, 为右括号 把中的左括号变为右括号, 右变左,记为

则括号列为好括号列 可好可坏,且有n-1个右,n+1个左, 共有个.

所以坏括号列 与括号列 , 有个

那么好括号列有

推论: n个字符,进栈出栈(出栈可以在栈不为空的时候随时进行), 则出栈序列有 c(n)种

这种先入后出的情形都是这样

3. 基数树(radixTree)

4. 字典树(trie)

又叫前缀树(preifx tree).适用于储存有公共前缀的字符串集合. 如果直接储存, 而很多字符串有公共前缀, 会浪费掉存储空间. 字典树可以看成是基数树的变形, 每个结点可以有多个孩子, 每个结点存储的是一个字符, 从根沿着结点走到一个结点,走过的路径形成字符序列, 如果有合适的单词就可以输出.

当然,也可以同理得出后缀树

4.1. AC 自动机

Aho-Corasick automation,是在字典树上添加匹配失败边(失配指针), 实现字符串搜索匹配的算法.

图中蓝色结点 表示存在字符串, 灰色表示不存在. 黑色边是父亲到子结点的边, 蓝色边就是失配指针.

蓝色边(终点称为起点的后缀结点): 连接字符串终点到在图中存在的, 最长严格后缀的结点. 如 caa 的严格后缀为 aa,a, 空. 而在图中存在, 且最长的是字符串 a, 则连接到这个字符串的终点 a.

绿色边(字典后缀结点): 终点是起点经过蓝色有向边到达的第一个蓝色结点.

下面摘自 wiki

在每一步中，算法先查找当前节点的 “孩子节点”，如果没有找到匹配，查找它的后缀节点(suffix) 的孩子，如果仍然没有，接着查找后缀节点的后缀节点的孩子, 如此循环, 直到根结点，如果到达根节点仍没有找到匹配则结束。

当算法查找到一个节点，则输出所有结束在当前位置的字典项。输出步骤为首先找到该节点的字典后缀，然后用递归的方式一直执行到节点没有字典前缀为止。同时，如果该节点为一个字典节点，则输出该节点本身。

输入 abccab 后算法的执行步骤如下：

5. 平衡二叉树

上面的二叉查找树不平衡,即经过多次插入,删除后, 其高度变化大, 不能保持的性能 而平衡二叉树就能. 平衡二叉树都是经过一些旋转操作, 使左右子树的结点高度相差不大,达到平衡 有如下几种

5.1. AVL Tree

平衡因子: 右子树高度 - 左子树高度 定义: 每个结点的平衡因子属于{0,-1,1} AVL_Tree_Example(from wiki).gif

from wiki

5.2. splayTree

伸展树, 它的特点是每次将访问的结点通过旋转旋转到根结点. 其实它并不平衡. 但是插入,查找,删除操作 的平摊时间是 有三种旋转,下面都是将访问过的 x 旋转到 根部

5.2.1. Zig-step

zig

5.2.2. Zig-zig step

zig-zig

5.2.3. Zig-zag step

zig-zag

5.3. read-black Tree

同样是平衡的二叉树, 以后单独写一篇关于红黑树的.

5.4. treap

前面提到, 随机构造的二叉查找树高度为 ,以及在算法 general 中说明了怎样 随机化(shuffle)一个给定的序列.

所以,为了得到一个平衡的二叉排序树,我们可以将给定的序列随机化, 然后再进行构造二叉排序树.

但是如果不能一次得到全部的数据,也就是可能插入新的数据的时候,该怎么办呢? 可以证明,满足下面的条件构造的结构相当于同时得到全部数据, 也就是随机化的二叉查找树.

treap

这种结构叫 treap, 不仅有要排序的关键字 key, 还有随机生成的,各不相等的关键字priority,代表插入的顺序.

插入的实现: 先进行二叉查找树的插入,成为叶子结点, 再通过旋转 实现 上浮(堆中术语). 将先排序 key, 再排序 prority(排序prority 时通过旋转保持 key 的排序)

6. 总结

还有很多有趣的树结构, 比如斜堆, 竞赛树(赢者树,输者树,线段树, 索引树,B树, fingerTree(不知道是不是译为手指树233)… 这里就不详细介绍了, 如果以后有时间,可能挑几个单独写一篇文章

7. 附代码

github地址

7.1. 二叉树(binaryTree)

from functools import total_ordering

@total_ordering
class node:
    def __init__(self,val,left=None,right=None,freq = 1):
        self.val=val
        self.left=left
        self.right=right
        self.freq = freq
    def __lt__(self,nd):
        return self.val<nd.val
    def __eq__(self,nd):
        return self.val==nd.val
    def __repr__(self):
        return 'node({})'.format(self.val)

class binaryTree:
    def __init__(self):
        self.root=None
    def add(self,val):
        def _add(nd,newNode):
            if nd<newNode:
                if nd.right is None:nd.right = newNode
                else:_add(nd.right,newNode)
            elif nd>newNode:
                if nd.left is None:nd.left = newNode
                else : _add(nd.left,newNode)
            else:nd.freq +=1
        _add(self.root,node(val))
    def find(self,val):
        prt= self._findPrt(self.root,node(val),None)
        if prt.left and prt.left.val==val:
            return prt.left
        elif  prt.right and prt.right.val==val:return prt.right
        else :return None
    def _findPrt(self,nd,tgt,prt):
        if nd==tgt or nd is None:return prt
        elif nd<tgt:return self._findPrt(nd.right,tgt,nd)
        else:return self._findPrt(nd.left,tgt,nd)
    def delete(self,val):
        prt= self._findPrt(self.root,node(val),None)
        if prt.left and prt.left.val==val:
            l=prt.left
            if l.left is None:prt.left = l.right
            elif l.right is None : prt.left = l.left
            else:
                nd = l.left
                while nd.right is not None:nd = nd.right
                nd.right = l.right
                prt.left = l.left
        elif  prt.right and prt.right.val==val:
            r=prt.right
            if r.right is None:prt.right = r.right
            elif r.right is None : prt.right = r.left
            else:
                nd = r.left
                while nd.right is not None:nd = nd.right
                nd.right = r.right
                prt.left = r.left

    def preOrder(self):
        def _p(nd):
            if nd is not None:
                print(nd)
                _p(nd.left)
                _p(nd.right)
        _p(self.root)

7.2. 前缀树(Trie)

class node:
    def __init__(self,val = None):
        self.val = val
        self.isKey = False
        self.children = {}
    def __getitem__(self,i):
        return self.children[i]
    def __iter__(self):
        return iter(self.children.keys())
    def __setitem__(self,i,x):
        self.children[i] = x
    def __bool__(self):
        return self.children!={}
    def __str__(self):
        return 'val: '+str(self.val)+'\nchildren: '+' '.join(self.children.keys())
    def __repr__(self):
        return str(self)

class Trie(object):

    def __init__(self):
        self.root=node('')
        self.dic ={'insert':self.insert,'startsWith':self.startsWith,'search':self.search}

    def insert(self, word):
        """
        Inserts a word into the trie.
        :type word: str
        :rtype: void
        """
        if not word:return
        nd = self.root
        for i in word:
            if i in nd:
                nd = nd[i]
            else:
                newNode= node(i)
                nd[i] = newNode
                nd = newNode
        else:nd.isKey = True
    def search(self, word,matchAll='.'):
        """support matchall function  eg,  'p.d' matchs 'pad' , 'pid'
        """
        self.matchAll = '.'
        return self._search(self.root,word)
    def _search(self,nd,word):
        for idx,i in enumerate(word):
            if i==self.matchAll :
                for j in nd:
                    bl =self._search(nd[j],word[idx+1:])
                    if bl:return True
                else:return False
            if i  in nd:
                nd = nd[i]
            else:return False
        else:return nd.isKey
    def startsWith(self, prefix):
        """
        Returns if there is any word in the trie that starts with the given prefix.
        :type prefix: str
        :rtype: bool
        """
        nd = self.root
        for i in prefix:
            if i in  nd:
                nd= nd[i]
            else:return False
        return True
    def display(self):
        print('preOrderTraverse  data of the Trie')
        self.preOrder(self.root,'')
    def preOrder(self,root,s):
        s=s+root.val
        if  root.isKey:
            print(s)
        for i in root:
            self.preOrder(root[i],s)

7.3. 赢者树(winnerTree)

class winnerTree:
    '''if i<lowExt    p = (i+offset)//2
       else           p = (i+n-1-lowExt)//2
       offset is a num 2^k-1 just bigger than n
        p is the index of tree
        i is the index of players
        lowExt is the double node num of the lowest layer of the tree
    '''
    def __init__(self,players,reverse=False):
        self.n=len(players)
        self.tree = [0]*self.n
        players.insert(0,0)
        self.players=players
        self.reverse=reverse
        self.getNum()
        self.initTree(1)
    def getNum(self):
        i=1
        while 2*i< self.n:i=i*2
        if 2*i ==self. n:
            self.lowExt=0
            self.s = 2*i-1
        else:
            self.lowExt = (self.n-i)*2
            self.s = i-1
        self.offset = 2*i-1
    def treeToArray(self,p):
        return 2*p-self.offset if p>self.s else 2*p+self.lowExt-self.n+1
    def arrayToTree(self,i):
        return (i+self.offset)//2 if i<=self.lowExt else (i-self.lowExt+ self.n-1)//2
    def win(self,a,b):
        return a<b if self.reverse else a>b
    def initTree(self,p):
        if p>=self.n:
            delta = p%2  #!!! good job  notice delta mark the lchild or rchlid
            return self.players[self.treeToArray(p//2)+delta]
        l = self.initTree(2*p)
        r = self.initTree(2*p+1)
        self.tree[p] = l if self.win(l,r) else r
        return self.tree[p]
    def winner(self):
        idx = 1
        while 2*idx<self.n:
            idx = 2*idx if self.tree[2*idx] == self.tree[idx] else idx*2+1
        num = self.treeToArray(idx)
        num = num+1 if self.players[num] !=self.tree[1] else num
        return self.tree[1],num
    def getOppo(self,i,x,p):
        oppo=None
        if 2*p<self.n:oppo=self.tree[2*p]
        elif i<=self.lowExt:oppo=self.players[i-1+i%2*2]
        else:
            lpl= self.players[2*p+self.lowExt-self.n+1]
            oppo = lpl if lpl!=x else self.players[2*p+self.lowExt-self.n+2]
        return oppo
    def update(self,i,x):
        ''' i is 1-indexed  which is the num of player
            and x is the new val of the player '''
        self.players[i]=x
        p = self.arrayToTree(i)
        oppo =self.getOppo(i,x,p)
        self.tree[p] = x if self.win(x,oppo) else oppo
        p=p//2
        while p:
            l = self.tree[p*2]
            r = None
            if 2*p+1<self.n:r=self.tree[p*2+1]   #notice this !!!
            else:r = self.players[2*p+self.lowExt-self.n+1]
            self.tree[p] = l if self.win(l,r) else r
            p=p//2

7.4. 左斜堆

from functools import total_ordering
@total_ordering

class node:
    def __init__(self,val,freq=1,s=1,left=None,right=None):
        self.val=val
        self.freq=freq
        self.s=s
        if left is None or right is None:
            self.left = left if left is not None else right
            self.right =None
        else:
            if left.s<right.s:
                left,right =right, left
            self.left=left
            self.right=right
            self.s+=self.right.s
    def __eq__(self,nd):
        return self.val==nd.val
    def __lt__(self,nd):
        return self.val<nd.val
    def __repr__(self):
        return 'node(val=%d,freq=%d,s=%d)'%(self.val,self.freq,self.s)

class leftHeap:
    def __init__(self,root=None):
        self.root=root
    def __bool__(self):
        return self.root is not None
    @staticmethod
    def _merge(root,t):  #-> int
        if root is None:return t
        if t is None:return root
        if root<t:
            root,t=t,root
        root.right = leftHeap._merge(root.right,t)
        if root.left is None or root.right is None:
            root.s=1
            if root.left is None:
                root.left,root.right = root.right,None
        else:
            if root.left.s<root.right.s:
                root.left,root.right = root.right,root.left
            root.s = root.right.s+1
        return root
    def insert(self,nd):
        if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
        if self.root is None:
            self.root=nd
            return
        if self.root==nd:
            self.root.freq+=1
            return
        prt =self. _findPrt(self.root,nd,None)
        if prt is None:
            self.root=leftHeap._merge(self.root,nd)
        else :
            if prt.left==nd:
                prt.left.freq+=1
            else:prt.right.freq+=1
    def remove(self,nd):
        if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
        if self.root==nd:
            self.root=leftHeap._merge(self.root.left,self.root.right)
        else:
            prt = self._findPrt(self.root,nd,None)
            if prt is not None:
                if prt.left==nd:
                    prt.left=leftHeap._merge(prt.left.left,prt.left.right)
                else:
                    prt.right=leftHeap._merge(prt.right.left,prt.right.right)
    def find(self,nd):
        if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
        prt = self._findPrt(self.root,nd,self.root)
        if prt is None or prt==nd:return prt
        elif prt.left==nd:return prt.left
        else:return prt.right
    def _findPrt(self,root,nd,parent):
        if not isinstance(nd,node):nd = node(nd)
        if root is None or root<nd:return None
        if root==nd:return parent
        l=self._findPrt(root.left,nd,root)
        return  l if l is not None else self._findPrt(root.right,nd,root)
    def getTop(self):
        return self.root
    def pop(self):
        nd = self.root
        self.remove(self.root.val)
        return nd
    def levelTraverse(self):
        li = [(self.root,0)]
        cur=0
        while li:
            nd,lv = li.pop(0)
            if cur<lv:
                cur=lv
                print()
                print(nd,end=' ')
            else:print(nd,end=' ')
            if nd.left is not None:li.append((nd.left,lv+1))
            if nd.right is not None:li.append((nd.right,lv+1))